Macetes das relações básicas

Apesar de não gostar muito de macetes, uma maneira prática e rápida de não confundir as relações de seno, cosseno e tangente é aprendendo a palavra SOH CAH TOA.

onde o

seno = Seno cateto Oposto pela Hipotenusa = SOH

cosseno = Cosseno cateto Adjacente pela Hipotenusa = CAH

tangente = Tangente cateto Oposto pelo cateto Adjacente = TOA

Derivada da tangente

Aprenderemos a provar que a derivada da tangente é igual a secante².

Sabemos que tangente = seno/cosseno( temos uma divisão), aplicaremos a regra da divisão ou regra do quociente.

Regra do quociente = f (x) / g (x) = ( f ' (x) . g (x) ) - ( f (x) . g ' (x) ) / g (x)²

assim teremos que:

derivada do seno = cosseno

derivada do cosseno = - seno

calculando teremos:

( cosseno x cosseno) - (seno x -seno) / cosseno²

cosseno² - ( - seno²) / cosseno²

cosseno ² + seno ² / cosseno ²

sabemos pela relação trigonométrica que seno²+ cosseno² = 1, teremos

1 / cosseno² = secante².

Derivada da cossecante

Vamos aprender a provar que a derivada da cossecante é igual - cossecante x cotangente


Sabemos que cossecante é igual a 1/sen , aplicando a regra do quociente(pois temos uma divisão)

regra do quociente = f (x) / g (x) = ( f '(x) . g (x) ) - ( f (x) . g ' (x) ) / g (x)²

assim teremos:

derivada de 1 = 0

derivada do seno = cosseno

resolvendo, teremos:
( 0 . sen) - (1 . cosseno)/ seno²

assim sendo, teremos:

- cosseno / seno² , que é a mesma coisa que (-1/seno) x (cosseno / seno)

assim sabemos que

-1/seno = -cossecante
cosseno / seno = cotangente

logo a derivada da cossecante é igual a -cossecante x cotangente.

Derivada da secante

Vamos aprender a provar que a derivada da secante é igual a tangente x secante.

Primeiro deveremos transformar a secante, que na verdade é igual a 1/cos.

Aplicando a regra do quociente( ja que temos uma divisão) teremos:

regra do quociente : f (x) / g (x) = (f ' (x) . g (x)) - ( f (x) . g ' (x)) / g (x)²

temos o seguinte:

derivada de 1 = 0

derivada do cosseno = - sen (mostraremos em outra oportunidade)

resolvendo o problema teremos:
( 0 . cos) - (1 . -sen)/ cos²
-(-sen)/ cos²
sen / cos²

isso é a mesma coisa que:
(sen / cos) x (1 / cos) , logo , sen/cos = tang e 1/cos = sec, assim sabemos que a derivada da secante é tangente x secante.

relação trigonométrica

Muitas vezes nos deparamos com problemas envolvendo as relações trigonométricas, para sabermos uma maneira fácil de aprendermos sem precisar recorrer as colas de duas importantes relações trigonométricas vamos utilizar o seguinte macete:

Para aprender as relações:

1 + tan² θ = sec² θ

1 + cotg² θ = cossec² θ


partindo da relação fundamental( sen² θ + cos² θ = 1), mostraremos em outra oportunidade, vamos achar essas relações.

Basta dividir tudo por sen² ou cos² e achamos essas relações, veja:

Partindo da relação básica de sen² θ + cos² θ = 1, dividiremos tudo por sen², com isso manteremos a relação de igualdade, ja que dividiremos tudo pelo mesmo valor.

sen² θ/ sen² θ + cos² θ/sen² θ = 1/sen² θ, prestando atenção veremos o seguinte:

sen² θ/sen² θ = 1

cos² θ / sen² θ = cotg² θ ( porque? tan = sen/cos, logo cotg θ = 1/ tan θ (que é a mesma coisa de 1/sen θ/cos θ) , assim sendo , utilizando a regra da divisão de fração temos 1 x cos θ/sen θ( repete a primeira, troca o sinal de dividir por vezes e inverte a segunda), temos que cotg θ = cos θ/sen θ, logo cotg² θ = cos² θ/sen² θ.

1 / sen² θ = cossec² θ

daí temos que 1+cotg² θ = cossec² θ.



dividindo tudo por cos² (sen² θ + cos² θ = 1), manteremos a igualdade, assim verificamos que:

sen² θ / cos² θ = tan² θ

cos ² / cos² θ = 1

1/ cos² θ = sec² θ

logo : tan² θ + 1 = sec² θ.

Representamos de maneira gráfica, as relações do seno , cosseno e tangente, através do círculo trigonométrico, o círculo está dividido em 360 graus( ou em radianos: igual a 2π ).

Radianos é a medida para medir arcos e ângulos. Muitas vezes em concursos a única resposta está em radianos, por isso é importante saber transformar em radianos as medidas do círculo trigonométrico.

1 rad é um arco de medida igual ao do raio de um determinado círculo.O número que expressa essa relação arco/radiano é o famoso π. Em 180 graus (metade do círculo ou meio ciclo) cabem 3,141516.... arcos radianos, o que equivale dizer que 180º = π radianos( importante dizer que 1 radiano é igual a 57º).

A partir dessa simples relação( regra de três simples), podemos chegar aos equivalentes em radianos de qualquer grau. Exemplo:

Converter 300º em radianos:

180º----- π
300º----- x

300π = 180x
x = 300π/180( simplificando a expressão)
x = 5π/3

Para converter radianos em grausé mais simples , basta no lugar do π colocar o 180º e pronto.
Exemplo :
π /2 = 180/2 = 90º
5π /3 = 5(180)/3 = 300º.

Fonte : www.feferraz.net

Círculo Trigonométrico